ֆիբոնաչիի հաջորդականություն

Մեծագույն մաթեմատիկոս, իտալացի վաճառական Լեոնարդոն` Պիզայից (1180-1240), որն առավել հայտնի է Ֆիբոնաչի կեղծանվամբ, եղել է միջնադարի ամենահայտնի մաթեմատիկոսը: Այս թեմայով մեր համար առավելագույն արժեք է ներկայացնում «Գիրք աբակա» գրությունը: Այս գիրքը իրենից ներկայացնում է ծավալուն աշխատանք, որը պարունակում է այդ ժամանակի գրեթե բոլոր հանրահաշվական և երկրաչափական տեղեկությունները և հետագայում մեծ դեր է խաղացել Արևմտյան Եվրոպայում՝ մաթեմատիկայի զարգացման մեջ: Հիմնականում հենց այդ գրքի միջոցով են եվրոպացիները ծանոթացել արաբական թվերի հետ:

Ճագարի խնդիր

Այս գրքի 123-124-րդ էջերում Ֆիբոնաչին առաջադրել է հետևյալ խնդիր-գլուխկոտրուկը, որը մինչև այսօր հրապուրում է մաթեմատիկոսներին, ոչ թե իր պատասխանով, այլ թվերի հաջորդականությամբ, որը ստացվում է լուծման ընթացքում: Հունվարին քեզ նվիրել են նորածին ճագարների մի զույգ: 2 ամիս անց ծնվել է ևս մի նոր զույգ: Ամեն զույգ երկու ամիսը մեկ ունենում է ճագարների նոր զույգ: Մեկ տարի անց` դեկտեմբերին, քանի՞ զույգ ճագար կլինի: Քանի որ նապաստակների առաջին զույգը նորածին է, ուրեմն 2-րդ ամսում մենք նախկինի պես կունենանք մեկ զույգ նապաստակ: Հունվար, Փետրվար, Մարտ։ Երրորդ ամսում` 1+1=2: Ապրիլ՝ 1+2=3 Մայիս: Քանի որ 2 զույգից միայն մեկ զույգն է սերունդ տալիս, ուրեմն կլինի` 2+3=3: Հունիս։ Հունիսին սերունդ են տալիս միայն այն զույգերը, որոնք ծնվել են 4-րդ. ամսում և այլն:

fibonachi-napastak

Եթե այդ եղանակով նապաստակի զույգերի թիվը նշ. Fn ապա F1=1, F2=1, F3=2, F4=3, F5=5, F6=8 , F7=13, F8=21, …, Fn=Fn-1+Fn-2:

Fn=Fn-1+Fn-2: Fn-ի թվերը կոչվում են ֆիբոնաչիի թվեր, իսկ հաջորդականությունը` ֆիբոնաչիի հաջորդականություն:

Ճագարների աճի սխեման ցույց է տալիս, թե ինչ հաջորդականություն է ստացվում յուրաքանչյուր ամսին: Այդ հաջորդականության անդամները հայտնի Ֆիբոնաչիի թվերն են, և ամեն մի նոր թիվ հավասար է իր նախորդ երկու անդամների գումարին: Ֆիբոնաչին առաջին անգամ դիտարկել է նաև հետևյալ խնդիրը, որի լուծումը նորից հանգեցնում է Ֆիբոնաչիի հաջորդականությանը:

Ծառի խնդիր

Ենթադրենք ծառի ճյուղի վրա իր կյանքի երկրորդ տարուց հետո յուրաքանչյուր տարի ծլում է ևս մեկ ճյուղ: Գտնենք, թե մեկ նորածին ծիլը n տարվա ընթացքում քանի ճյուղ կդառնա: Եթե an-ով նշենք n-րդ ճյուղերի քանակը, ապա a1=a2=1: Պարզ է, որ n-րդ տարում ճյուղերի քանակը կլինի (n-1)-րդ տարում եղածներին + n-րդ տարում ծլածները: Քանի որ n-րդ տարում ծիլ են տալիս միայն(n-2)-րդ տարում եղած ճյուղերը, ուստի an=an-1+an-2, n≥3: Այժմ տանք այն գեղեցիկ և հետաքրքիր թվային հաջորդականությունը, որը մեզ հանդիպում է տարբեր մաթեմատիկական իրադրություններում, բնության երևույթների ուսումնասիրության ժամանակ, և առաջին անգամ դիտարկել է Լեոնարդո Ֆիբոնաչին:

Հաջորդականությունը հետևյալն է ` 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181 և այլն:
Երկար պրպտումներից պարզվել է, որ հաջորդականությունը օժտված է բազմաթիվ օրինաչափություններով`

Յուրաքանչյուր անդամ հավասար է իր նախորդ երկու անդամների գումարին an=an-1+an-2:

Յուրաքանչյուր երրորդ անդամը զույգ թիվ է։

Յուրաքանչյուր չորրորդ անդամը բաժանվում է 3-ի:

Յուրաքանչյուր 15-րդ անդամը վերջանում է 0-ով։

Եվ ընդհանրապես Ֆիբոնաչիի թվերը ցանկացած թվի վրա բաժանվում են պարբերաբար: Երկու հարևան անդամները փոխադարձաբար պարզ են an-ը բաժանվում է am-ի վրա միայն ու միայն այն դեպքում,եթե n-ը բաժանվում է m- ի վրա։

Ուղղակի զարմանալի է, թե ինչքան հաստատուններ կարելի է հաշվարկել Ֆիբոնաչիի հաջորդականության օգնությամբ և ինչպես են նրա անդամները դրսևորվում բազմաթիվ զուգորդություններում: Սակայն չափազանցություն չի լինի ասել, որ դա սովորական խաղ չէ թվերի հետ, այլ բնության երեւույթների ամենակարևոր մաթեմատիկայի արտահայտությունն է: Բերված օրինակները ցույց են տալիս այդ մաթեմատիկական հաջորդականության հետաքրքիր ներդրումները:

Հեղինակ՝ Վոլոդյա Մկրտչյան

Այլ նյութեր